モンティ・ホール問題を徹底解説！確率のパラドックスと勝利への戦略

2024年9月19日

皆さんはテレビ番組「レッツ・メイク・ア・ディール」をご存知でしょうか？この番組の司会者、モンティ・ホールが繰り広げるゲームの中で出題される「モンティ・ホール問題」は、確率論における有名なパラドックスとして知られています。一見すると直感に反するこの問題ですが、理解すると確率の世界が一層深く感じられることでしょう。本記事では、モンティ・ホール問題を深く、詳しく、具体的に、そして分かりやすく解説し、勝利への戦略を探ります。

エピソード1: モンティ・ホール問題の基本設定

まず、モンティ・ホール問題の基本的な設定を理解しましょう。

ゲームのシナリオ

参加者と扉: あなたはテレビゲームの参加者として登場します。目の前には3つの扉があり、それぞれの扉の向こうには1つの賞品が隠されています。そのうち1つの扉の向こうには高価な車があり、残りの2つの扉の向こうにはヤギがいます。
最初の選択: あなたはまず、3つの扉の中から1つを選びます。例えば、扉Aを選んだとしましょう。
モンティの行動: 司会者のモンティ・ホールは、残りの2つの扉（扉Bと扉C）のうち、ヤギが隠されている扉を1つ開けます。例えば、扉Bを開けてヤギを見せます。
選択の再考: その後、あなたに選択のチャンスが与えられます。すなわち、最初に選んだ扉（扉A）を維持するか、残ったもう1つの扉（扉C）に変更するかです。
質問: 扉の選択を維持すべきか、それとも変更すべきか？どちらが車を獲得する確率が高いのでしょうか？

初見の直感

多くの人は、扉を変更しても変更しなくても、車を獲得する確率は同じ（それぞれ1/2）だと考えがちです。しかし、これは誤りです。次のエピソードでは、この直感がなぜ誤っているのかを詳しく見ていきます。

エピソード2: 確率論から見るモンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題を正しく理解するためには、確率論の基本的な考え方を押さえる必要があります。

初期の選択と確率

最初に扉Aを選んだ場合、車が扉Aにある確率は1/3、残りの2つの扉（扉Bまたは扉C）に車がある確率は合計で2/3です。ここで重要なのは、モンティ・ホールが常にヤギが隠れている扉を開けるという点です。

モンティの行動が確率に与える影響

モンティがヤギを見せることで、新たな情報が提供されます。しかし、この情報は単なる偶然ではなく、戦略的な行動に基づいています。つまり、モンティは意図的にヤギのいる扉を開けるため、選択の変更が確率に影響を与えるのです。

選択の変更 vs. 維持

選択を維持する場合: 最初に選んだ扉（扉A）が車である確率は依然として1/3です。
選択を変更する場合: 残りの未開封の扉（扉C）には、車がある確率が2/3に増加します。

したがって、選択を変更することで、車を獲得する確率は2/3に高まるのです。この結果は直感に反するため、多くの人々にとって驚きとなります。

エピソード3: シミュレーションで見る確率の真実

理論的な確率だけでは理解しにくい部分もあります。そこで、実際にシミュレーションを行って確率を確認してみましょう。

シミュレーションの手順

ゲームを繰り返す: ゲームを1000回繰り返します。
戦略を比較: 毎回、最初に選んだ扉を維持する場合と変更する場合で結果を記録します。
結果を集計: それぞれの戦略における車の獲得回数を集計します。

シミュレーション結果の傾向

選択を維持する場合: 車を獲得する確率は約1/3。
選択を変更する場合: 車を獲得する確率は約2/3。

この結果は、理論的な確率と一致しており、選択を変更する方が確率的に有利であることを裏付けています。

エピソード4: 条件付き確率の視点からの分析

条件付き確率を用いることで、モンティ・ホール問題の解法がより明確になります。

事象の定義

AAA: 最初に選んだ扉に車がある。
BBB: モンティが特定の扉を開けた。

求めたい確率

扉を変更した場合に車がある確率 P(A′∣B)P(A’ | B)P(A′∣B) を求めます。

計算プロセス

最初に選んだ扉に車がある確率: P(A)=13P(A) = \frac{1}{3}P(A)=31
最初に選んだ扉に車がない確率: P(A′)=23P(A’) = \frac{2}{3}P(A′)=32
モンティがヤギのいる扉を開けた後の確率:
- P(A∣B)=13P(A | B) = \frac{1}{3}P(A∣B)=31
- P(A′∣B)=23P(A’ | B) = \frac{2}{3}P(A′∣B)=32

したがって、選択を変更することで車を獲得する確率は2/3になります。